二叉树 | Ashine & 小破站

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节点是数据结构中的基础，是构成复杂数据结构的基本组成单位。

1 重点概念

1.1 节点概念

节点是数据结构中的基础，是构成复杂数据结构的基本组成单位。

2 树

2.1 定义

**树（Tree）**是 n（n>=0) 个结点的有限集。n=0 时称为空树。在任意一颗非空树中： 1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点； 2）当 n>1 时，其余结点可分为 m(m>0) 个互不相交的有限集 T1、T2、......、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。

此外，树的定义还需要强调以下两点： 1）n>0 时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树只能有一个根结点。 2）m>0 时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。

2.2 结点的度

结点拥有的子树数目称为结点的度。

**节点的度：**结点拥有的子树数目称为结点的度，叶子结点就是度为 0 的结点

3 二叉树

3.1 定义

二叉树是 n(n>=0) 个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。

一棵典型的二叉树如下图所示：

3.2 二叉树特点

由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点： 1）每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于 2 的结点。 2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。 3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

3.3 二叉树性质

1）在二叉树的第 i 层上最多有 2(i-1) 个节点。（i>=1） 2）二叉树中如果深度为 k, 那么最多有 2(k)-1 个节点。(k>=1） 3）n0=n2+1 n0 表示度数为 0 的节点数，n2 表示度数为 2 的节点数。 4）在完全二叉树中，具有 n 个节点的完全二叉树的深度为 [log2n]+1，其中[log2n] 是向下取整。 5）若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性：

(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点; (2) 若 2i>n，则该结点无左孩子，否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点； (3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点，否则，编号为 2i+1 的结点为其右孩子结点。

3.4 斜树

斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。

图 3.2 左斜树

图 3.3 右斜树

3.5 满二叉树

满二叉树：在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。满二叉树的特点有： 1）叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。 2）非叶子结点的度一定是 2。 3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。

3.6 完全二叉树

完全二叉树：对一颗具有 n 个结点的二叉树按层编号，如果编号为 i(1<=i<=n) 的结点与同样深度的满二叉树中编号为 i 的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。图 3.5 展示一棵完全二叉树

图 3.5 完全二叉树

特点： 1）叶子结点只能出现在最下层和次下层。 2）最下层的叶子结点集中在树的左部。 3）倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置。 4）如果结点度为 1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。 5）同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。注：满二叉树一定是完全二叉树，但反过来不一定成立。

3.7 二叉树的存储结构

3.7.1 顺序存储

二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，就是数组的下标索引。

图 3.6

图 3.6 所示的一棵完全二叉树采用顺序存储方式，如图 3.7 表示：

图 3.7 顺序存储

由图 3.7 可以看出，当二叉树为完全二叉树时，结点数刚好填满数组。那么当二叉树不为完全二叉树时，采用顺序存储形式如何呢？

例如：对于图 3.8 描述的二叉树：

图 3.8.png

其中浅色结点表示结点不存在。那么图 3.8 所示的二叉树的顺序存储结构如图 3.9 所示：

图 3.9

其中，∧表示数组中此位置没有存储结点。此时可以发现，顺序存储结构中已经出现了空间浪费的情况。那么对于图 3.3 所示的右斜树极端情况对应的顺序存储结构如图 3.10 所示：

图 3.10

由图 3.10 可以看出，对于这种右斜树极端情况，采用顺序存储的方式是十分浪费空间的。因此，顺序存储一般适用于完全二叉树。

3.7.2 二叉链表

既然顺序存储不能满足二叉树的存储需求，那么考虑采用链式存储。由二叉树定义可知，二叉树的每个结点最多有两个孩子。因此，可以将结点数据结构定义为一个数据和两个指针域。表示方式如图 3.11 所示：

图 3.11

定义结点代码：

typedef struct BiTNode{
    TElemType data;
    struct BiTNode *lchild, *rchild;
} BiTNode, *BiTree;

则图 3.6 所示的二叉树可以采用图 3.12 表示。

图 3.12

图 3.12 中采用一种链表结构存储二叉树，这种链表称为二叉链表。

3.8 二叉树遍历

二叉树的遍历一个重点考查的知识点。

3.8.1 定义

二叉树的遍历是指从二叉树的根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次，且仅被访问一次。二叉树的访问次序可以分为四种：

前序遍历中序遍历后序遍历层序遍历

前，中，后只是指父节点遍历的顺序，前序就是父节点 -> 左子树 -> 右子树，中序是左子树 -> 父节点 -> 右子树，后序是左子树 -> 右子树 -> 父节点

3.8.2 前序遍历

前序遍历通俗的说就是从二叉树的根结点出发，当第一次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。

3.13

图 3.13 所示二叉树访问如下：

从根结点出发，则第一次到达结点 A，故输出 A; 继续向左访问，第一次访问结点 B，故输出 B；按照同样规则，输出 D，输出 H；当到达叶子结点 H，返回到 D，此时已经是第二次到达 D，故不在输出 D，进而向 D 右子树访问，D 右子树不为空，则访问至 I，第一次到达 I，则输出 I； I 为叶子结点，则返回到 D，D 左右子树已经访问完毕，则返回到 B，进而到 B 右子树，第一次到达 E，故输出 E；向 E 左子树，故输出 J；按照同样的访问规则，继续输出 C、F、G；

则 3.13 所示二叉树的前序遍历输出为： ABDHIEJCFG

3.8.3 中序遍历

中序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第二次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。

图 3.13 所示二叉树中序访问如下：

从根结点出发，则第一次到达结点 A，不输出 A，继续向左访问，第一次访问结点 B，不输出 B；继续到达 D，H；到达 H，H 左子树为空，则返回到 H，此时第二次访问 H，故输出 H； H 右子树为空，则返回至 D，此时第二次到达 D，故输出 D；由 D 返回至 B，第二次到达 B，故输出 B；按照同样规则继续访问，输出 J、E、A、F、C、G；

则 3.13 所示二叉树的中序遍历输出为： HDIBJEAFCG

3.8.4 后序遍历

后序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第三次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。

图 3.13 所示二叉树后序访问如下：

从根结点出发，则第一次到达结点 A，不输出 A，继续向左访问，第一次访问结点 B，不输出 B；继续到达 D，H；到达 H，H 左子树为空，则返回到 H，此时第二次访问 H，不输出 H； H 右子树为空，则返回至 H，此时第三次到达 H，故输出 H；由 H 返回至 D，第二次到达 D，不输出 D；继续访问至 I，I 左右子树均为空，故第三次访问 I 时，输出 I；返回至 D，此时第三次到达 D，故输出 D；按照同样规则继续访问，输出 J、E、B、F、G、C，A；

则图 3.13 所示二叉树的后序遍历输出为： HIDJEBFGCA

虽然二叉树的遍历过程看似繁琐，但是由于二叉树是一种递归定义的结构，故采用递归方式遍历二叉树的代码十分简单。递归实现代码如下：

void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T==NULL)
    return;
    printf("%c", T->data);  
    PreOrderTraverse(T->lchild);    
    PreOrderTraverse(T->rchild);    
}



void InOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T==NULL)
    return;
    InOrderTraverse(T->lchild); 
    printf("%c", T->data);  
    InOrderTraverse(T->rchild); 
}



void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T==NULL)
    return;
    PostOrderTraverse(T->lchild);   
    PostOrderTraverse(T->rchild);   
    printf("%c", T->data);  
}

3.8.5 层次遍历

层次遍历就是按照树的层次自上而下的遍历二叉树。针对图 3.13 所示二叉树的层次遍历结果为： ABCDEFGHIJ 层次遍历的详细方法可以参考二叉树的按层遍历法。

3.8.6 遍历常考考点

对于二叉树的遍历有一类典型题型。 1）已知前序遍历序列和中序遍历序列，确定一棵二叉树。例题：若一棵二叉树的前序遍历为 ABCDEF，中序遍历为 CBAEDF，请画出这棵二叉树。分析：前序遍历第一个输出结点为根结点，故 A 为根结点。早中序遍历中根结点处于左右子树结点中间，故结点 A 的左子树中结点有 CB，右子树中结点有 EDF。如图 3.14 所示：